开门见山
老师好，抱歉冒昧打扰了。
我是一名……学生，之前上过您……的课，一直……非常认可您的某段上课观点。现在即将毕业，想试着申请一下……交流项目/硕士offer等等，简单调查后锁定……这个项目，但需要推荐信。
这个项目/岗位的要求是xxx方向专精的老师，这正是……我希望的某些学术转型的路径。本科时在您的课堂上就开始对xxx感兴趣，但由于……比如说学科设置没有足够多的精力去展开。现在有了机会。这个机会对我而言很珍贵。能请您给我写一封推荐信吗？
很抱歉打扰您（再为自己的突兀和无理要求简单道歉下但不要说多，避免他借坡下驴不写了。最后一定要是以请求推荐信的话结尾，而且要醒目。）
如果他拒绝你再回信表示理解
如果他不拒绝但是似乎态度有所犹豫，你就说你可以拟好推荐信，他只要给个签名就行，然后根据他犹豫时的借口展开说。
[・∀・]加油，不难的

xxx方向专精的老师是为了捧他，类似于他是最合适给这个项目写推荐信的人，最权威，你觉得一定要打扰他的原因/逻辑。

很简单，写一个先给哪位比较熟又信得过的老师看看