“空集∅是任何集合的子集”这句话其实不太对吧，非空集合就没有空集啊，标明了A≠∅的集合也没有空集（也算是非空集合）。

一些识别类小程序

懂鸟（观鸟/鸟类识别的微信小程序；目前还没用过。）
↑推荐来源：
BV1vH4y1o7bk
全方面介绍了“懂鸟”小程序的用法和功能，这个up用它来记录广东深圳附近的鸟类和观鸟地，让我确信这个小程序靠谱好用

菌窝子（蘑菇识别小程序，准确率极高，还能帮助他人识别。但要看广告增加识别次数。）
形色（花朵识别小程序/app，帮我认识了很多身边的花，现在还在用，谢谢它。）

交叉相乘的原理：其实就是分式方程的解法，左右乘以“最简公分母”。就可以让a/c＝b/d等于ab＝cd了。
实际操作起来完全不需要先写出乘最简公分母然后再约掉的过程，太麻烦了，就用分子乘对方的分母即可。

关于子集和空集，可以这样理解：
“B是A的子集”，意思是从A中拿出一部分元素，组成一个新的集合，称为B。如果拿出1个元素a，B就是一个单元素集，B={a}。拿出n个元素，B就是含有n个元素的集合，这里的n是一个自然数（或可数无穷多或阿列夫，但我们目前暂且认定n是自然数）。那么，自然可以考虑n=0的情况，也就是从A中取0个元素，来构造集合B，这样得到的集合B就称为空集。
另一个特殊情况就是拿出A中的所有元素，如此得到的B中包含了A中的所有元素，即B=A，说明A自身也是A的子集。

>>Po.1111674
谢谢你！正好今天刚学完子集个数公式的应用，思路清晰了好多。
也确实是这样用的，原集A中的元素个数决定了子集B的个数，当我写出“A提取0个元素构成B＝∅”时也再次想到了子集与空集的关系问题。数学真神奇啊。
我最后搜出了空集的性质作为标答：“空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。任何非空集合的真子集都有空集。空集是空集的子集，但不是真子集。”（在高中时也学过这一大段很绕的话，当时还不解其意；现在懂了，并且知道怎么用。）

指数函数的形式好严格[|||ﾟдﾟ]系数不能变，只能是1；指数x也不能变，只能是x，不能是x+1、2x这样的；若要违反上述两个条件，那就不是指数函数，而是“指数型复合函数”。
（就跟正弦函数与正弦型函数的区别一样吧，多了个“型”字，函数表达式、学生做题的方式就完全不一样了）

司汤达真的经常对读者隔空喊话，读着读着忽然插一句“想必读者们已经忘记了这个角色......”“在这里，读者大概也能体会出来......”“先前忘了对读者们说，这个角色其实...（→然后唐突插入“骑士其实因为痛风病在家修养”的设定。）

此时他才想起德·费瓦克夫人的信来，他忘了把原信还给那个郑重其事的西班牙人唐迭戈了，于是便将这些信找出来，发现也和那位俄罗斯贵族的一样莫名其妙，全都含含糊糊，想什么都说，而又什么也没说出来。于连心想："就文体而言，这些信好比风吹竖琴，就虚无、死亡、无限等等高谈阔论，其实我看只不过是怕被人笑话而已。"
我们上面简述的这段独白，于连一连反复嘟囔了半个月。

[ ﾟ∀。]↑：有点道理，确实

别看红与黑章数多，可是每章的平均字数其实蛮少的！有的一章就两三页，估计都没到两千字，而且大部分是冗杂混乱的重复心理活动

“陛下”是对帝王的敬称
“殿下”是对帝王之外其他皇室成员的敬称

看完了电影《叶问》（2008，即叶问系列第一部）

叶师傅帮武痴林找到了他的铁盒，第一时间就收起来了，没有打开......真是好人
（想想好多作品里主角捡到好友的重要道具，拿到以后就直接打开给观众看了，是怀表就翻开看照片，是手机就看锁屏，是画册就看绘画内容，是书本就掉出来一张书签。没有立刻揭晓道具内容的主角确实很少。仅仅是根本没有想去看而是下意识收起来这种微小的举动就体现了他非常重情义）

在看悲惨世界音乐剧，好像是25th的演唱会版本？是修复视频小潮人上传的那一版，点进去自动跳转到爱乐之都的（大悲好像没有标准的入坑版本，好多版本的播放量都差不多，弹幕也比较分散。可能是过去最火的版本被b站吞了，然后新人会选择的入坑版本就五花八门了，弹幕和播放量被分流到各大版本下）
你甚至可以在悲惨世界里看到红与黑......[ ﾟ∀。]（好听

>>Po.1112766
看完了。没搞懂剧情，可能因为这是演唱会形式的吧，大部分时间都在唱歌，表演部分几乎没有。歌确实很好听。看的这版应该就是25th本体，谢幕时大屏幕打上了1985-2010

有空看看电影版的，听说不错

(12/5)x(80/3)等于(12/3)x(80/5)。
分式相乘，可以直接互换分子或者互换分母，然后再进行分子除以分母的计算。
这里就是“80除3”替换成“80除5”更好算（很明显个位数是0更适合被5整除，一眼就得80除5等于16），“12除5”替换成“12除3”才能算（12除5根本得不到整数，12除3正好等于4）

>>Po.1113692
是因为这道题发现规律的。在步骤①算到步骤②的时候我傻了，为什么小郎一下子就得出真数部分是4x16，我还在傻傻地算80除3等于多少。。。然后发现是互换分母
（小郎写对数的时候真数部分会写到log的右上角去，不要学，正确的应该写得跟log齐平，跟log大小一致，像他这样写会被阅卷老师打叉叉的）

lg2和lg5那章给我算吐了，只懂得lg2+lg5＝lg10＝1这条结论，但不断地遇到lg2 · lg5，(lg 2)²，(lg 5)²这种算不了的式子。很明显要靠式子里的其他数把整个式子中的所有lg2·lg5化成k个lg2+lg5相加才行，我拆了半天，都不知道上哪拆出一样的k来，感觉简直就是在蒙。。。（答案里面这个k就是2，就是要从lg2500和(lg 5)²里面都拆出一个2来，等终于发现这一点的时候，我已经在这题停留15分钟以上了）

我去，换底公式好恐怖[;´Д`]
小郎给的引入部分还是比较温和的，他给的换底公式是“log对数＝lg真/lg底”（←相当于插入底数c就是10。这种方式让我很好地先记住了换底公式中的分式是上真下底，不用刻意去记插入底数的位置，那样反而容易死记硬背），然后用这个式子引出一个换底公式的推导“log对数＝对数底真互换的倒数”（推导过程特别简单，而且好记、用途不窄，能大大提高学生自信心......）。
就先给了这两个式子让学生记，没记别的，太好了。（还好没有一学完换底公式就抛出那一大堆变形公式，那样确实太劝退，我又不止一次感叹郎兴刚太能把握现代高中小孩的学习心理了）

>>Po.1109112
现在，只要哪位先生和她谈话时间长了点，她便觉得有个问
题要问于连，其实这是一种借口，好把于连留在她身边。
她发觉自己怀孕了，便兴高采烈地告诉于连。
"现在你还怀疑我吗？这难道不就是保证？我永远是你的
妻子了。"

[ ﾟ∀。]：看到玛蒂尔达怀孕了，原来之前确实做了啊

"我想给我父亲写封信。"一天，玛蒂尔德对他说，"他对我不仅是父亲，而且是朋友，欺骗他，那怕仅仅一会儿，对你，对我，都是不应该的。"
"天哪！你要干什么？"于连大惊失色说道。
"尽儿女之责。"她回答时眼里闪出快乐的光芒。
她比她的情人更崇高。
"但他会毫不留情地把我轰走的！"
"这是他的权利，我们只好尊重。那么你就挎着我的胳臂，我们在光天化日之下，从正门走出去。"
于连惊讶不已，求她把日子推迟一个星期。
"不行，"她回答道，"名誉要紧，而且责任所在，只好履行，事不宜迟。"
"如果这样，我就下令你推迟，"于连最后只好说道，"你的名誉不必担心，我是你的丈夫。事关重大，会改变我们两个人今后的处境。我也有我的权利。今天是星期二。下星期二是德．雷兹公爵接待客人的日子。晚上，德·拉摩尔先生回府的时候，门房会交给他一封非同小可的信……他一心只想你成为公爵夫人，这一点我敢肯定，你就想一想他的难受劲吧。"
"你是说他会报复？"
"我会可怜我的恩人，对伤害他感到抱歉，但我不怕，永远也不怕任何人。"

[ ﾟ∀。]：玛蒂尔达主动提出把怀孕的事告诉父亲，于连还犹犹豫豫，不敢面对，最后才被玛蒂尔达的情绪带动而答应下来了，但仍然附加了“推迟一段时间再告诉他”的要求。
中间那句：“她比她的情人更崇高。”就已经说明两人之间的区别了。玛蒂尔达都比于连敢作敢当，咱们敢偷情，接下来就敢私奔，她甚至做好了后半生永远过苦日子的打算，好牛啊。作为一个两百年前的巴黎贵族小姐，这种觉悟也太超前了